خداوند دنیا را آفرید و بشر برای فهم آن، معادلات دیفرانسیل را.

معادلات دیفرانسیل به چه درد می خورد؟ این سوالی است که در خواندن هر موضوع باید پرسید. این موضوع به چه درد می خورد؟ اگر به درد نمی خورد که چرا وقت ارزشمند را صرف یادگیری آن کنیم؟

معادلات دیفرانسیل هر چند در زندگی روزمره در ظاهر هیچ نقشی ندارند ولی در فهم تغییرات پدیده های مختلف به ویژه اتفاقات طبیعی که هر روز دور و برمان رخ می دهد به کمک ما می آیند. اگر کنجکاو نباشید و تغییراتی که هر روز دور و برتان می افتد برایتان مهم نباشد باید بگویم معادلات دیفرانسیل به هیچ دردی نمی خورد.
مدل سازی بسیاری از پدیده ها در فیزیک، مهندسی، زیست شناسی، باستان شناسی و … منجر به معادلاتی می شود که مشتق متغیر وابسته (یعنی سرعت تغییرات متغیر وابسته) در معادله وجود دارد و به این معادلات، معادلات دیفرانسیل گفته می شود. برای آگاهی از جواب و پیش بینی حوادث باید آنها را حل کرد. به طور مثال به کمک جواب های معادلات دیفرانسیل، زمان لازم برای انجام یک واکنش شیمیایی را می توان تخمین زد. مثلا می توان فهمید چقدر غلظت یک محلول بعد از زمانی مشخص چقدر است. می توان قدمت یک اثر تاریخی را از طریق حل یک معادله دیفرانسیل بسیار ساده تشخیص داد. می توان در پزشکی قانونی زمان به قتل رسیدن شخص را با توجه به دمای فعلی جسد و دمای محیط پیرامون تشخیص داد. در واقع آهنگ تغییرات دما متناسب با اختلاف دمای بدن بیمار با دمای محیط است و این یعنی مشتق تابع دمای بدن بیمار در زمان t نسبت به زمان مساوی با ضرب یک عدد ثابت در اختلاف دمای بدن و محیط به بیان ریاضی \frac{d\theta}{dt}=\alpha (\theta-\theta_a)  که یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی است.

می توان با حل معادلات انتقال حرارت، از تغییرات دمایی یک جسم در زمان های بعدی تنها با داشتن اطلاعاتی از قبیل ضریب رسانش گرمایی و دمای اولیه و … آگاه شد. می توان با حل معادلات دیفرانسیل مربوط به تغییرات جوی به پیش بینی وضع هوا پرداخت. البته همه اینها در قالب نرم افزارهای آماده ای وجود دارد و با وارد کردن اطلاعات لازم می توان جواب را در کامپیوتر دید. با این حال هنوز نرم افزارهای حل معادلات دیفرانسیل مشکلات زیادی دارند و توانایی حل مسائل محدود و با شرایط محدود کننده ای را دارند که حتی در فرایند مدل سازی هم برای بدست آوردن یک معادله قابل حل از تقریب های زیادی استفاده شده و از برخی خواص فیزیکی سیستم صرف نظر شده است. دانش بشر در حل مسائل واقعی با استفاده از تئوری های موجود معادلات دیفرانسیل هنوز نیاز به توسعه زیادی دارد.
با حل معادلات دیفرانسیل مربوط به تغییرات جمعیتی یک گونه جانوری می توان پیش بینی کرد جمعیت آن گونه به چه صورتی تغییر می کند. معادلات دیفرانسیل شکار و شکارچی در این دسته از معادلات جای دارند.
می توان زمان لازم برای جذب یک دارو را با حل معادلات دیفرانسیل پخش (diffusion) پیش بینی کرد.
می توان رشد سلول های سرطانی را با یک معادله دیفرانسیل مدل سازی کرد و سپس تغییرات سلول ها را با حل آن معادله پیش بینی کرد.
می توان استراتژی های بهینه ای برای سرمایه گذاری در بورس از طریق حل معادلات دیفرانسیل مربوطه یافت.
در طراحی نرم افزارهای مهندسی عمران مربوط به تحلیل سازه ها آگاهی از معادلات دیفرانسیل اجتناب ناپذیر است.

لازم به ذکر است هر یک از موارد فوق نیازمند آگاهی از مباحث بین رشته ای (ریاضیات و اقتصاد، ریاضیات و زیست شناسی، ریاضیات و زمین شناسی، ریاضیات و مهندسی عمران، و … است.

برای اطلاع از کاربردهای معادلات دیفرانسیل در پزشکی این لینک (به زبان انگلیسی) را ببینید. لینک فوق دارای مراجع مختلفی از کاربرد معادلات دیفرانسیل در تکنولوژی، کاربرد معادلات دیفرانسیل در پزشکی، تحقیقات سرطان، طراحی پلیمرها، طراحی دارو و … است که همگی دارای  وجه مشترکی هستند: بیان مساله به زبان ریاضی با ابزار معادلات دیفرانسیل. برای کاربردهای پزشکی معادلات دیفرانسیل جزئی می توانید این لینک را هم ببینید.

برای اطلاع از نمونه های واقعی معادلات دیفرانسیل در شیمی مقاله ۱۲ صفحه ای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول در شیمی را مطالعه کنید. در این مقاله برخی از فرایندهای شیمیایی توسط معادلات دیفرانسیل مدل سازی شده اند.

تلاش می کنیم به زودی اطلاعاتی از کاربردهای معادلات در مهندسی عمران، مهندسی هسته ای، مهندسی برق، مهندسی مکانیک سیالات، مهندسی هوافضا و … در سایت قرار دهیم.

 

استفاده از مطالب سایت ریاضیات مدرن با ذکر منبع “ریاضیات مدرن” بلامانع است.