آموزش ریاضیات

خطی جبر یک موضوع پایه ای در ریاضی است که اهمیت بسیاری برای دانشجویان علوم کامپیوتر دارد.

۱. **دانش پایه**: جبر خطی مفاهیم و تکنیک‌های ریاضی پایه‌ای را ارائه می‌دهد که پایه‌ بسیاری از موضوعات علوم کامپیوتر مانند یادگیری ماشین، گرافیک کامپیوتری، تحلیل داده‌ها و بینایی ماشین است.

۲. **نمایش داده**: در علوم کامپیوتر، داده‌ها اغلب با استفاده از ماتریس‌ها و بردارها نمایش داده می‌شوند و ساختارهای داده‌ای این گونه به طور کارآمدی قابل مدیریت هستند. درک جبر خطی به دانشجوان کمک می‌کند تا با این ساختارهای داده‌ای به صورت کارآمدی کار کنند.

۳. **یادگیری ماشین و علوم داده**: جبر خطی در یادگیری ماشین و علوم داده بسیار مهم است، زیرا الگوریتم‌های بسیاری در این زمینه‌ها عملیاتی بر روی مجموعه‌های داده به صورت ماتریسی انجام می‌دهند. مفاهیمی مانند ضرب ماتریسی، مقادیر و بردارهای ویژه در انواع الگوریتم‌های یادگیری ماشین مهمی ایفا می‌کنند.

۴. **گرافیک کامپیوتری**: گرافیک کامپیوتری، شامل توسعه بازی‌های ویدیویی و طراحی کامپیوتری (CAD)، به شدت از جبر خطی برای وظایفی مانند تبدیلات سه‌بعدی، رندرینگ و مدل‌سازی استفاده می‌کند.

۵. *بینایی ماشین **: جبر خطی در بینایی ماشین برای پردازش تصویر، تشخیص اشیاء و استخراج ویژگی‌ها بسیار مهم است. درک عملیات ماتریسی برای تغییر و تحلیل داده‌های تصویر حیاتی است.

۶. **بهینه‌سازی**: بسیاری از مسائل علوم کامپیوتر به بهینه‌سازی مرتبط هستند و جبر خطی ابزارهایی برای حل این مسائل به صورت کارآمد ارائه می‌دهد. تکنیک‌هایی مانند گرادیان کاهشی، که در آموزش مدل‌های یادگیری ماشین استفاده می‌شوند، بر مفاهیم جبر خطی تکیه دارند.

۷. **شبکه‌ها و نظریه گراف**: جبر خطی برای نمایش و تحلیل ساختارها و گراف‌های شبکه استفاده می‌شود و کاربردهایی در زمینه های مختلف علوم کامپیوتر دارد، از جمله شبکه‌های اجتماعی، الگوریتم‌های مسیریابی و سیستم‌های پیشنهادی.

۸. **فشرده‌سازی داده**: تکنیک‌هایی مانند تجزیه و تحلیل مؤلفه‌های اصلی (PCA) از جبر خطی برای کاهش ابعاد داده‌ها استفاده می‌کنند تا داده‌ها را قابلیت کار با آنها راحت‌تر کنند و همچنان اطلاعات مهم را حفظ کنند.

۹. **نظریه کدگذاری**: جبر خطی در نظریه کدگذاری استفاده می‌شود که برای تشخیص و اصلاح خطا در سیستم‌های انتقال و ذخیره‌سازی داده اساسی است.

۱۰. **برنامه‌نویسی کامپیوتر**: هرچند جبر خطی در اصل یک موضوع ریاضی است، کاربردهای عملی آن اغلب به برنامه‌نویسی مرتبط است. مهارت در جبر خطی می‌تواند به دانشمندان کامپیوتر کمک کند تا برای وظایف مختلفی کد بهینه و بهینه‌سازی شده بنویسند.

۱۱. **طراحی الگوریتم**: درک جبر خطی می‌تواند به طراحی الگوریتم‌های بهینه‌تر منجر شود، زیرا امکان توسعه الگوریتم‌هایی را فراهم می‌کند که از عملیات‌های ماتریسی و برداری بهره‌بری کنند.

۱۲. **داده‌های بزرگ**: در دوران داده‌های بزرگ، جبر خطی در پردازش و تجزیه و تحلیل داده‌های قابل مقیاس استفاده می‌شود و به دانشجویان علوم کامپیوتر این امکان را می‌دهد تا به صورت کارآمد با مجموعه‌های داده بزرگ کار کنند.

به طور خلاصه، جبر خطی یک دانش ریاضی اساسی و چندمنظوره است که به طور عمیق با جنبه‌های مختلف علوم کامپیوتر ترکیب شده است. برای موفقیت در علوم کامپیوتر،  پایه‌ قوی جبر خطی ضروری است.

با مشارکت ChatGPT

تدریس جبر خطی و جبر خطی عددی از کتب مشهور جبر خطی ۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵ 

جبر خطی گیلبرت استرنگ دانشگاه MITT ، جبر خطی استرلینگ، جبر خطی آنتونی و هاروی، جبر خطی شلدون اکسلر و …

استفاده از ریاضیات در پژوهش‌های بیوپزشکی در سال‌های اخیر به طرز قابل توجهی پیشرفت کرده است و برای کشف‌ها و آشکارسازی‌های مهمی مؤثر بوده است. در زیر به برخی از حوزه‌های کلیدی که ریاضیات در آن‌ها نقش مهمی ایفا می‌کند، اشاره می‌کنیم:

۱. مدل‌سازی و شبیه‌سازی:

مدل‌های ریاضی به محققان در شبیه‌سازی فرایندها و سیستم‌های زیستی کمک می‌کند و امکان درک عمیق‌تری از پدیده‌های زیستی را فراهم می‌کند. به عنوان مثال، در مورد شیوع بیماری‌های عفونی مانند کووید-۱۹ از مدل‌سازی ریاضی بهره گرفته می‌شود تا اثرات مداخلاتی مانند واکسیناسیون و فاصله‌گذاری اجتماعی را پیش‌بینی کند.

۲. تجزیه و تحلیل تصویر:

ریاضیات در پردازش و تحلیل تصاویر پزشکی، مانند اسکن CT، MRI و تصاویر میکروسکوپی، بسیار حائز اهمیت است. تکنیک‌هایی مانند تجزیه تصویر، ثبت تصویر و بازسازی تصویر به طور گسترده از الگوریتم‌ها و روش‌های ریاضی استفاده می‌کنند تا تشخیص دقیق، بهبود تصاویر پزشکی و تشخیص زودرس بیماری را ممکن سازند.

۳. تجزیه و تحلیل آماری:

ریاضیات پایه‌ای برای تجزیه و تحلیل آماری در پژوهش‌های بیوپزشکی است. پژوهشگران از روش‌های آماری برای تحلیل داده‌ها، شناسایی الگوها و استنباط‌ها استفاده می‌کنند. این شامل آزمون فرضیه، تجزیه تحلیل رگرسیون، تجزیه تحلیل بقا و تجزیه تحلیل داده‌های بعد بالا است که امکان تصمیم‌گیری قوی و مبتنی بر شواهد را فراهم می‌کند.

۴. تجزیه و تحلیل ژنوم:

حوزه ژنومیک به الگوریتم‌ها و روش‌های ریاضی وابستگی زیادی دارد تا داده‌های ژنتیکی بزرگ را تحلیل و تفسیر کند. مدل‌های ریاضی برای پیش‌بینی تعاملات ژنی، شناسایی جهش‌های عامل بیماری و فهم وابستگی‌های ژنتیکی مرتبط با احتمال بروز بیماری و پاسخ به داروها استفاده می‌شوند.

۵. بهینه‌سازی و طراحی دارو:

ریاضیات و تکنیک‌های بهینه‌سازی در طراحی دارو و پزشکی فردی بسیار حائز اهمیت است. پژوهشگران از مدل‌های ریاضی برای بهینه‌سازی دوز دارو، برنامه‌های درمانی و پیش‌بینی کارایی دارو استفاده می‌کنند. علاوه بر این، مدل‌سازی ریاضی در درک تعاملات دارو-دارو و کاهش اثرات جانبی نیز مفید است. ۶. زیست‌شناسی سیستم: ریاضیات برای زیست‌شناسی سیستم بسیار حائز اهمیت است و به دانشمندان در درک رفتار سیستم‌های زیستی پیچیده به صورت کلی کمک می‌کند. مدل‌های ریاضی امکان یکپارچه‌سازی داده‌های ژنومی، پروتئومی و متابولومیکی را برای تجزیه و تحلیل تعاملات پیچیده در شبکه‌ها و مسیرهای زیستی فراهم می‌کنند. این امر امکان درک سیستمی از بیماری‌ها و توسعه درمان‌های هدفمند را به ارمغان می‌آورد.

به طور کلی، استفاده از ریاضیات در پژوهش‌های بیوپزشکی به صورت چشم‌گیری توسعه پیدا کرده است و به پژوهشگران کمک می‌کند تا کشف‌های نوآورانه‌ای انجام دهند، درمان‌های نوآورانه ارائه دهند و نتایج بهتری به دست آورند.

---

همکاری در تحقیقات پزشکی مربوط به ریاضیات و داده کاوی، تجزیه و تحلیل کامل مقالات روز و مجلات معتبر، انجام و مشارکت در چاپ مقالات ریاضی کاربردی در پزشکی، پروپوزال های بین رشته های ریاضیات کاربردی، آنالیز عددی و پزشکی در شاخه های مختلف پزشکی، چاپ مقالات در مجلات Q1

دکتر جانی، دکترای آنالیز عددی ۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵ در صورت عدم پاسخگویی، پیام بگذارید. (واتس اپ، تلگرام، ایتا، بله، اسکایپ، ایمیل mostafa.jani@gmail.com)

۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵ دکتر جانی با سابقه تدریس دروس تخصصی و کاربردی ریاضیات در رشته های مهندسی و علوم

۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵

تدریس خصوصی سیستم های دینامیکی Dynamical systems

تدریس خصوصی ریاضی مهندسی پیشرفته Advanced engineering mathematics

تدریس خصوصی محاسبات عددی پیشرفته Advanced computational mathematics

تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل جزئی (پاره ای) Partial differential equations

۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵

تدریس خصوصی انتقال حرارت پیشرفته (روش های عددی و تحلیلی در انتقال حرارت )

تدریس خصوصی انتقال جرم پیشرفته (روش های عددی و تحلیلی در انتقال جرم)

تدریس خصوصی پرتربیشن perturbation تدریس خصوصی روش های عددی در جبر خطی

تدریس خصوصی روش های عددی در مهندسی عمران، مهندسی مکانیک و …

تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل، محاسبات عددی و …

تدریس ریاضیات دانشگاهی جزوات زبان انگلیسی، آلمانی، دانمارکی و …

تدریس ریاضیات کاربردی در مقاطع مختلف دانشگاهی

۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵ 

دارای سابقه بیش از ۱۰ سال تدریس دروس ریاضیات دانشگاهی و ریاضیات پیشرفته

می دانیم وقتی یک ماتریس روی یک بردار اثر می کند حاصل بردار جدیدی است.

وقتی ماتریس روی مجموعه ای از بردارها اثر می کند حاصل مجموعه ای از بردارهاست.

مجموعه نقاط یک تصویر را در نظر بگیرید. وقتی یک ماتریس روی این تصویر اثر می کند بردارهای حاصل یک تصویر جدید تشکیل می دهند.

اگر ماتریس همانی باشد اثر ماتریس روی هر شکل (یا روی هر جسم در هر فضایی که باشد) “همان” شکل است و تغییری ایجاد نمی شود. طبیعتا تحت تاثیر ماتریس طول جسم (یک بعدی)، مساحت جسم (دوبعدی)، حجم جسم (سه بعدی) و … تغییری نمی کند و در این حالت دترمینان برابر یک است.

اگر بتوان تصویر حاصل را با یک ماتریس به تصویر اولیه تبدیل کرد می گوییم فرایند انجام شده توسط ماتریس، برگشت پذیر است (اصطلاحا می گوییم ماتریس معکوس پذیر است) و به ماتریسی که تصاویر حاصل از اثر ماتریس A را به شکل اولیه تبدیل می کند ماتریس معکوس ماتریس A می گوییم.

اساسا ماتریس یک تابع است و مفهوم معکوس ماتریس همان مفهوم معکوس در توابع است (معکوس را با نشان می دهیم و معکوس ماتریس (می توانید بگویید تابع )را نیز به طور مشابه با نشان می دهیم و می خوانیم  آ اینورس).

دترمینان میزان تغییرات (تغییر طول، مساحت، حجم و …) را در شکل حاصل از اثر ماتریس نشان می دهد (اینکه مساحت شکل اولیه پس از اثر ماتریس چند برابر شده یا حجم یا …)

حدس می زنید دترمینان ماتریس معکوس یعنی و دترمینان چه رابطه ای دارند؟

حدس می زنید ضرب دو ماتریس از دیدگاه فوق، چگونه است و آیا با ترکیب دو تابع مرتبط است؟

حدس می زنید عکس یک خرگوش لاغر اندام را با چه نوع ماتریسی می توان به یک خرگوش تپلی تبدیل کرد؟

یک ماتریس قطری بنویسید و تصویر کلیه نقاط روی یک دایره به شعاع ۲ را تحث اثر این ماتریس در یک نمودار متفاوت مشخص کنید. مساحت جسم قبل و بعد از اثر ماتریس چند است و چه ارتباطی با دترمینان ماتریس دارد.

ماتریسی که در نظر گرفته اید را در یک عدد ضرب کنید و عملیات فوق را تکرار کنید چه نتیجه ای می گیرید و آیا قابل انتظار است؟

این متن نیاز به تکمیل دارد…

فلسفه ریاضی و هر علم دیگری حل مشکلی از مشکلات بشری است ولی چرا خود ریاضیات یک مشکل محسوب می شود؟

در اینکه ریاضی سخت است بحثی نیست راه رفتن هم برای یک نوزاد سخت است ولی با تمرین پس از مدتی شروع به راه رفتن می کند.

ریاضی درسی است که همه افراد می توانند یاد بگیرند. روش های یادگیری ریاضی بسیار متنوع هستند. آموزش های مبتنی بر مشهودات و آنچه در دنیای واقعی می توان لمس کرد تا آموزش های انتزاعی ریاضیات برای ریاضیات. ولی آنچه در بین همه روش های آموزش ریاضی مشترک است و اهمیت بسیاری هم دارد حل تمرینات متنوع و به اندازه کافی است. اینکه فقط ریاضی را با تلاشی یاد بگیریم و بعد تمرین نکنیم مثل کسی است که چند روز آموزشگاه برود و رانندگی یاد بگیرد ولی تمرین کافی رانندگی نکند.

در یادگیری هر مبحثی از ریاضی  می توان از امکانات شهودی بهره گرفت تا درک مفاهیم راحت تر باشد.

یک روش خوب خواندن متون ریاضی این است که ابتدا نگاهی کلی به تمام مطالب فصل بیندازید بخش های مختلف را ببینید سپس یک بار داستان وار بخوانید و حتی اگر نفهمیدید دست از خواندن نکشید. وقتی به پایان بحث رسیدید حداقل می فهمید داستان کلی چه هست. حال برای فهمیدن مطالب یک بار دیگر با دقت مطالعه کنید و حتما در یک برگه سفید کلمات مهم و سوالاتتان را یادداشت کنید. بعد از مطالعه کامل کتاب را ببندید و در ذهن خود مطالب را مرور کنید سعی کنید مطالب مهم را بازگو کنید به زبان خودتان. یک بار دیگر آنچه بازگو کرده اید را با متن چک کنید سپس حتما تمرین آن فصل را انجام بدهید.

بعد از حل تمرینات ببینید آیا نتیجه خاصی از تمرینات میشه گرفت یا نه. برخی تمرینات خیلی هدفمند طرح می شوند.

مرور ذهنی مطالب و بازگویی مطالب بر اساس برداشت های ذهنی خودتان فراموش نشه. این خیلی مهمه.

با آرزوی موفقیت برای شما عزیزان 

 

نحوه مطالعه درس معادلات دیفرانسیل به چه صورت باشد تا بهترین نتیجه را در امتحان کسب کنیم؟

اول اینکه معادلات دیفرانسیل بیانگر چیست؟

معادلات دیفرانسیل ارتباط بین یک پدیده (دمای یک میله، ارتعاشات یک سیم، جمعیت یک گونه جانوری، فرایند جذب دارو، تغییرات بازار بورس، …) و سرعت های تغییر آن پدیده نسبت به پارامترهای وابسته است. به طور مثال با حل معادله دیفرانسیل مربوط به دمای یک جسم، می توان دمای جسم را در نقاط مختلف آن جسم و در زمان های مختلف پیش بینی کرد یا با حل معادله دیفرانسیل مربوط به تغییرات حرارتی بدن مقتول می توان زمان قتل را تشخیص داد یا با حل معادله دیفرانسیل مربوط به ارتعاشات یک سیم می توان وضعیت ارتعاش در نقاط مختلف سیم و در زمان های مختلف را فهمید و به عنوان مثال به صورت مهندسی معکوس از معادلات ارتعاش هنگام طراحی قطعات متحرک خودرو کمک گرفت (اینها مسائل معکوس در معادلات دیفرانسیل نامیده می شوند و عموما در درس معادلات مورد بررسی قرار نمی گیرند!)

دوم اینکه یک معادله دیفرانسیل را چطور حل کنیم؟ چه روشی را به کار ببریم؟

برای پاسخ به این سوال باید دسته بندی معادلات دیفرانسیل را به خوبی بدانیم. معادلات دیفرانسیل بر حسب مرتبه معادله (بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادله) دسته بندی می شوند. برخی روش های حل معادلات مرتبه اول با حل معادلات مرتبه دوم متفاوت هستند. دسته بندی دیگر، خطی و غیرخطی بودن معادله است. برای معادلات خطی مرتبه اول یک فرمول وجود دارد که آن فرمول را بدانید کلیه معادلات مرتبه اول خطی را می توانید حل کنید. معادلات خطی چه مرتبه اول چه مرتبه دوم  و سوم و … را می توان با تبدیل لاپلاس هم حل کرد. اساسا تبدیل لاپلاس برای حل معادلات خطی به کار می رود و به طور کلی معادلات غیرخطی را نمی توان با تبدیل لاپلاس حل کرد. اگر معادله مرتبه اول باشد و خطی نباشد باید ببینیم معادله جداپذیر است یا خیر. معادلات جداپذیر را می توان با تفکیک کردن متغیرها و سپس انتگرال گیری به راحتی حل کرد. اگر معادله مرتبه اول غیرخطی باشد و جداپذیر نباشد تحت شرایط خاصی می توان به معادله ای جداپذیر تبدیل کرد. بررسی کامل بودن معادله و استفاده از عامل های انتگرال در مرحله بعد است. حتی اگر در صورت سوال قید شده از فلان روش برای حل استفاده کنید و شما آن روش را بلد نیستید ببینید با روش دیگری اگر می توانید معادله را حل کنید حتما این کار را بکنید. تیری در تاریکی.

دسته بندی معادلات را برای خودتان بنویسید و در کنار هر دسته روش های حل را بنویسید.

بعد از مطالعه کلی درس معادلات حل چند نمونه سوال بسیار مهم است. این کار در دسته بندی هم به شما کمک خواهد کرد.

جمع بندی مطالب درس مثل هر درس دیگری اهمیت بسیار بالایی دارد.

تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل 

۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵

تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل

تدریس مفهومی معادلات دیفرانسیل

 

برخی کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مهندسی و علوم

معادلات دیفرانسیل در حوزه‌های گوناگون مهندسی و علوم استفاده می‌شوند. در زیر چند نمونه از کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مهندسی و علوم آورده شده است:

۱. فیزیک: معادلات دیفرانسیل به طور گسترده در فیزیک برای شرح رویدادهای فیزیکی مختلف استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، قانون دوم نیوتن در مکانیک، که رابطه‌ای میان نیرو، جرم و شتاب برقرار می‌کند، به عنوان یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم بیان می‌شود. معادلات دیفرانسیل همچنین در حوزه‌هایی مانند مکانیک کوانتومی، الکترومغناطیس، دینامیک سیالات و غیره مورد استفاده قرار می‌گیرند.

۲. مهندسی برق: معادلات دیفرانسیل در تحلیل مدارهای برقی، پردازش سیگنال و سیستم‌های کنترل استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، به کمک معادلات دیفرانسیل می‌توان رفتار یک مدار برقی با مقاومت، خازن و القاگر را مدل کرد. سیستم‌های دینامیکی مانند موتورهای الکتریکی و سیستم‌های قدرت نیز در مدل‌سازی و تجزیه و تحلیل خود از معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنند.

۳. مهندسی مکانیک: معادلات دیفرانسیل در مهندسی مکانیک برای مدل‌سازی سیستم‌های مکانیکی بسیار حائز اهمیت هستند. زمینه‌های کاربرد عبارتند از دینامیک سیستم‌های مکانیکی، ارتعاشات مکانیکی، هدایت حرارتی، جریان سیال و غیره. معادلات دیفرانسیل برای شرح حرکت و نیروهایی که بر اشیاء مانند وسایل نقلیه، ماشین‌آلات و سازه‌ها اثر می‌گذارند، استفاده می‌شوند.

۴. مهندسی شیمی: معادلات دیفرانسیل به طور گسترده در مهندسی شیمی برای مدل‌سازی و تحلیل واکنش‌های شیمیایی، انتقال جرم و انتقال حرارت استفاده می‌شوند. این معادلات برای شرح سینتیک شیمیایی، پدیده‌های انتقال و رفتار راکتورها، ستون‌های تقطیر و گرمایشگرها استفاده می‌شوند.

۵. مهندسی هوافضا: معادلات دیفرانسیل در مهندسی هوافضا برای مدل‌سازی و تجزیه و تحلیل حرکت هواپیماها، موشک‌ها، ماهواره‌ها و فضاپیماها استفاده می‌شوند. این معادلات برای شرح جرم‌شناسی هواپیما، دینامیک پرواز، سیستم‌های پیشرانشی و مکانیک مدار نیز استفاده می‌شوند.

۶. مهندسی عمران: معادلات دیفرانسیل در مهندسی عمران برای مدل‌سازی و تحلیل ارتعاشات سازه‌ها، هدایت حرارت در ساختمان‌ها، جریان سیال در لوله‌ها، جریان آب زیرزمینی و رفتار مواد تحت تنش استفاده می‌شوند. آنها همچنین در مکانیک خاک و مهندسی ژئوتکنیک برای تجزیه و تحلیل سیستم‌های پیشرفت و پایداری شیب‌ها استفاده می‌شوند.

۷. علوم کامپیوتر و تحلیل داده: معادلات دیفرانسیل در علوم کامپیوتر برای حل مسائل محاسباتی، پردازش تصاویر و سیگنال، یادگیری ماشین و شبیه‌سازی‌ها استفاده می‌شوند. آنها همچنین در تحلیل داده و مدل‌های پیش‌بینی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

برای هر یک از موارد فوق می توانید نمونه های متعددی از معادلات دیفرانسیل بیان کنید.

 

 

اگر می خواهید ریاضیات یاد بگیرید حتما به احساس خودتان اهمیت بدهید. بسیار مهم است که نسبت به یک مطلب ریاضی خود خود خودتان فارغ از هر دفتر و دستکی چطور فکر می کنید چه احساسی دارید به نظر شما منظور از اون مطلب چیه لب مطلب چیه و به چه دردی می خوره و چرا به درد می خوره و کجاها به درد می خوره. چطور به درد می خوره، آیا یه چیز به درد بخور تر هم می تونه وجود داشته باشه یه چیز ساده تر چطور؟ تصور شما از فلان مطلب ریاضی چیه؟ می تونید در تجارت یه مصداقی براش پیدا کنید یا در صنعت یا در جامعه شناسی یا در پزشکی یا …

در اغلب کشورها، در تدریس ریاضیات چه در سطح دبیرستان و چه در سطح دانشگاه، عموما به بینش intuition توجه جدی نمی شود. شاید دلیلش این باشد که کسی که تدریس می کند باید در موضوعات مختلف کنجکاوی داشته باشد تا به بینش خوبی در مفاهیم و قضایا برسد.

منطق و بینش (درک شهودی) دو بال در آموزش ریاضیات است. بدون بینش یادگیری ریاضیات بسیار پیچیده و با بینش به طرز عجیبی لذت بخش می شود. در مورد مفاهیمی که در ریاضیات مشکل دارید ویدئوهای مربوطه را می توانید در یوتیوب مشاهده کنید همراه با مطلب ریاضی مورد نظر، کلمه intuition یا the idea behind یا the simple idea behind یا a geometric interpretation یا why do we use یا کلمات مشابه را بنویسید.

شاید نتوان گفت همه، ولی اغلب مسائل ریاضی توضیح بسیار ساده ای دارند. قضایای ریاضی به طور گسترده ای مصداق های بسیار زیبا و متنوعی در طبیعت دارند. باید بال تخیل را در ریاضیات استفاده باز کرد. پرواز با یک بال تفکر منطقی راه به جایی نمی برد. شاید بتوان گفت نقش تخیل imagination در گسترش علم بیشتر از نقش تفکر منطقی است. اساسا قبل از تفکر منطقی اگر تخیل به کار گرفته نشود مطالب بسیار پیچیده به نظر خواهند رسید.

ریاضیات زبان جالبی است. هر مطلبی در ریاضیات را می توان به زبان ریاضیات ترجمه کرد، به زبان جامعه شناسی ترجمه کرد، به زبان مهندسی مکانیک، مهندسی عمران، مهندسی مالی، مهندسی پزشکی، مهندسی برق و … ترجمه کرد. یک مفهوم ریاضی به چندین زبان قابل ترجمه است. تفکر و تخیل می تواند ترجمه های مختلف را پیش روی ما قرار دهد و آنگاه بگوییم آهان این مطلب اینه! چقدر ساده است! چقدر به درد بخور است! آهــــــــــــــــــــان سری فــــــــــــوریه اینه، آهاااااان مقدار ویژه اینه! تبدیل فوریه سریع اینه! معادلات دیفرانسیل اینه! جبرخطی اینه! مفهوم انتزاعی گروه اینقدر ساده است! قضیه استوکس اینه، مشتق اینه، قضیه … اینه، عجــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــب

حضرت انیشتن می فرمایند: من به شهود  و الهام معتقدم. تخیل بسیار مهم تر از دانش است. زیرا دانش محدود است و تخیل تمام دنیا را در بر می گیرد، مهیج پیشرفت است و تکامل را پدید می آورد.

 

Albert Einstein: “I believe in intuition and inspiration. Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution.”

اغلب مفاهیم ریاضی را با ذکر مثال های ملموس از طبیعت و یا به صورت آزمایشگاهی میشه آموزش داد. آزمایشگاه ریاضی در مراحل اولیه نیاز به امکانات چندانی نداره. یک مداد، چند برگ باطله، یک نقاله، خط کش، متر، دماسنج، فعلا همین ها.

در این قسمت می خواهیم چند تا از مفاهیم پرکاربرد ریاضی را به زبان خودمانی بیان کنیم.

مفاهیمی از ریاضیات پایه و ریاضی عمومی

• مفهوم تابع به زبان ساده: وقتی آب میذارید روی گاز، دمای آب لحظه به لحظه تغییر می کنه میگیم دمای آب تابعی از زمان است. قیمت دلار هم تابعی از زمان است. در هر دوی این مثال ها، تابع، صعودی است یعنی دمای آب میره بالا وقتی زمان میگذره و قیمت دلار هم میره بالا. یک مثال دیگه از تابع بزنیم: مقدار انحراف از حالت عادی طناب توی حیاط که لباس روش پهن کردید تابعی از نقاط مختلف طناب هست، در دو نقطه انتهایی طناب مقدار انحراف صفر هست و هر چه به مرکز نزدیکتر میشید انحراف بیشتر میشه البته اگه لباسا را وسطا پهن کرده باشید و طناب هم یه خرده شل و ول باشه! مقدار پولی که بابت خرید مرغ میدید تابعی از وزنش هست باز این هم یک تابع هم صعودی هست. مقدار پولی که بابت هزینه برق پرداخت می کنید تابعی از مقدار مصرف (برحسب کیلووات ساعت) هست.دمای گوشت از وقتی از فریزر دی میارید ۱۶ درجه هست تا یک ساعت بعد فکر می کنید بر حسب زمان چطور تابعی باشه؟ به مقدار حجم مانده بسته اینترنتی از روزی که بسته را گرفتید تا روزی که تموم میشه فکر کنید مقدار حجم بسته تابعی نزولی از زمان است. در همه این مثال ها مقدار پول پرداختی، زمان، قیمت دلار، دما، مقدار خمش یک طناب که چیزی روش گذاشتید، … متغیر هستند در هر کدوم از این مثال ها به یک متغیر میگیم متغیر مستقل و به اون یکی میگیم وابسته. حالا شما قضاوت کنید که در مثال های فوق کدوم متغیر ها مستقل و کدوم ها وابسته اند.
• مفهوم تابع جدولی: کتری را بگذارید روی گاز و یک دماسنج بردارید و دمای آب را در زمان های مختلف در یک جدول یادداشت کنید یعنی در یک سطر زمان را بنویسید و زیرش دمای آب در آن لحظه را بنویسید به این جدول میگیم یک تابع جدولی. یک نمودار رسم کنید محور افقی را برای زمان (متغیر مستقل) در نظر بگیرید و محور عمودی را برای دما (چون دما به زمان بستگی داره به دما میگیم متغیر وابسته) به عنوان تمرین یک خط کش بردارید و از دو طرف یه مقدار فشار بیارید خم بشه. مقدار خم شدگی را در چند نقطه با یک خط کش اندازه بگیرید و یادداشت کنید. تابع جدولی بدست آمده را رسم کنید (وقتی نقطه ها را در نمودار به هم وصل می کنید اصطلاحا میگن درونیابی کردید. بعدا در موردش توضیح میدیم)
• مفهوم تابع غیر خطی (در درس ریاضی عمومی و حساب دیفرانسیل و انتگرال)

نمونه هایی در زندگی روزمره: وقتی مغازه دار با افزایش میزان خرید یک محصول مثلا برنج قیمت محصول را کمتر در نظر می گیرد قیمت جنس به عنوان تابعی از وزن، تابعی غیر خطی است.

مثال: وقتی مبلغ مشخصی پول دارید مثلا صد تومن  و هر روز دو تومن پول بر می دارید مقدار پولی که در روز  ام مونده براتون چقدره؟  که یک تابع خطی هست. این تابع را رسم کنید می بینید که نمودارش یک خط هست.

• مفهوم عملگر غیرخطی یا نگاشت غیر خطی (در درس آنالیز، جبر خطی و آنالیز تابعی) به زبان خودمانی: اگر عملگر یا نگاشت را یک ماشین در نظر بگیریم که یه چیزی میگیره (ورودی) و یه چیزی تولید میکنه میده بیرون(خروجی). اگر عملگر یا نگاشت به شکلی باشه که وقتی ورودی را n برابر کنید خروجی هم n برابر بشه (n می تونه هر عددی باشه) میگیم تابع خطی است. مثال های زیر همگی نمونه هایی از

 

مثال دیگر: در مسابقات دو اگر ۵۰ متر را در ۱۲ ثانیه بدوید آیا می توانید نتیجه بگیرید که ۱۰۰ متر را می توانید در ۲۴ ثانیه بدوید؟؟ خیر، وقتی فاصله زیاد تر میشه خسته میشید و انرژی تون کمتر میشه بنابراین دویدن را با روند قبل (خطی) نمی تونید ادامه بدید! نمودار زمان دویدن بر حسب فاصله را میشه به صورت زیر تصور کرد که هر چه مسافت بیشتر میشه شیب منحنی کمتر میشه (به زبان فیزیک یعنی سرعت شما کمتر میشه، به زبان ریاضی مشتق رو به کاهش است. مشتق=سرعت

• مفهوم قدر مطلق (هم در اعداد حقیقی و هم در اعداد مختلط): یعنی یه عدد چقدر از ۰ فاصله داره مثلا هم منفی ده و هم مثبت ده فاصله شون تا صفر ده واحده پس میگیم قدر مطلق منفی ده میشه ده قدر مطلق ده هم میشه ده. قدر یعنی مقدار   مطلق هم یعنی بدون قید و شرط
  در صفحه اعداد مختلط هم معنی قدر مطلق یک عدد میشه فاصله نقطه ای که اون عدد را نشون میده تا مبدا
• مفهوم سینوس و کسینوس
  مبحث مثلثات رابطه بین طول اضلاع در مثلث قائم الزاویه و زاویه بین اونا را بررسی می کنه. زمانی که انسان ها در غار ها زندگی می کردند از سر کنجکاوی این روابط را بدست آوردند! قبلش شکل های هندسی را باباهاشون بهشون یاد داده بودند که بکشن یعنی هندسه قدیمی تر از مثلثاته.چند تا مثلث قائم الزاویه رسم کنید که در همگی یک زاویه اش مثلا ۳۰ درجه باشه یک مثلث بزرگ، یک مثلث کوچک و یک مثلث معمولی باشه. برای هر کدوم از این مثلث ها، طول ضلعی که روبروی زاویه ۳۰ درجه هست را با خط کش یا متر یادداشت کنید و بر طول بزرگترین ضلع (یا همون وتر) تقسیم کنید عددی که بدست آوردید خواهید دید نتیجه برای همه مثلث ها تقریبا یکسانه به این عدد میگیم سینوس زاویه ۳۰ درجه. حالا مثلا سینوس ۲۰ درجه، ۵۰ درجه و ۶۰ درجه را هم حساب کنید. کسینوس چطور حساب میشه؟
• مفهوم انتگرال به زبان خودمانی

انتگرال یعنی جمع کردن یعنی تجمع و انباشتگی. انتگرال یک تابع یعنی مجموع مقادیر تابع. وقتی بدونید یک دونده در هر ثانیه سرعتش چقدر بوده

وقتی می خواهید دور یک ساختمانی که دایره ای هست را اندازه بگیرید

مفهوم توپولوژی به زبان ساده

مفاهیم جبر خطی به زبان ساده

مفهوم فضای برداری به زبان ساده: توجه کنید که هر دو تا بردار را که با هم جمع می کنیم باز یک بردار میشه وقتی یه بردار را در یک عدد ضرب می کنیم باز هم یه بردار میشه. میگیم مجموعه بردارها نسبت به جمع برداری و ضرب اسکالر بسته هستند (اسکالر یعنی عدد، scale یعنی مقیاس و اعداد معیار مقایسه کردن چیزها هستند لابد برای همین به اعداد اسکار هم میگن).

 

مفهوم پایه به زبان ساده

مفهوم بعد به زبان ساده

مفهوم مقدار ویژه و بردار ویژه به زبان ساده: بردارهایی که تحت اثر ماتریس (نیرو، تغییر شکل، دوران، …) فقط در اندازه تغییر می کنند (و نه در جهت) را بردارهای خاص یا بردار های ویژه آن ماتریس (آن نیرو، آن تغییر شکل، آن دوران، …) می نامیم و به مقدار تغییر اندازه هر کدام از این بردارها، مقدار خاص یا مقدار ویژه آن ماتریس نسبت به آن بردار می گوییم.

مفهوم فضاهای تابعی: فضاهای توابع پیوسته، فضاهای چندجمله ای ها، فضاهای توابع مربعا انتگرال پذیر، فضاهای سوبولوف، …

مفهوم تجزیه ماتریسی به زبان ساده و ارتباط با دستکاری اشکال هندسی در نرم افزارها (کشیدگی شکل ها، تغییر مقیاس و …)

مفهوم ماتریس های معین مثبت و ارتباط (تعمیم) آن با تعیین علامت دبیرستان

مفهوم تبدیل فوریه سریه به زبان ساده: درونیابی ساده مثلثاتی و حجم محاسباتی (مرتبه N به توان ۳)، درونیابی با استفاده از ویژگی های خاص توابع مختلط نمایی (نتیجه حاصل حجم محاسباتی N  به توان ۲ دارد)، تفرقه بنداز درونیابی درجه پایین انجام بده و آخر سر یه وصله پینه کن (حجم عملیاتی لازم N log N)

این یک نوشته خام است و در فرصت مناسب بازبینی و تکمیل خواهد شد.

چطور انگیزه ریاضی خواندن را در خودمان به وجود آوریم یا در صورت وجود تقویت کنیم؟

به دو طریق می توان به ریاضیات نگریست: راه اول توجه به جنبه های زیبایی شناسی، هنر خلاقیت، نبوغ بشری در خلق ریاضیات از دیدگاه تاریخی از آفرینش اعداد گرفته برای استفاده در شمارش و آفرینش اشکال هندسی برای تقسیم اراضی تا آفرینش حسابان، هندسه های غیر هذلولی، جبرخطی، آنالیز و PDE است.

یکی از اساتید بنده می گفتند اگر روابطی که در ریاضیات کشف می کنید زیبایی ندارند بخشی از مسیر کاوش شما اشکال دارد و لازم است از زوایای دیگری به موضوع نگاه کنید.

روش دوم نگاه کاربردی به موضوعات ریاضی است که هدف از ریاضیات را یادگیری برای استفاده در مسائل واقعی مهندسی می داند. به طور مثال ریاضیات برای طراحی مخازن هیدروکربوری با ویژگی های خاص، ریاضیات برای طراحی بدنه خودرو با تلفیق بهینه ای از چندین ویژگی مهندسی، ریاضیات در علوم انسانی مثلا در روانشناسی اجتماعی از قبیل شخصیت شناسی با تحلیل شبکه های اجتماعی، طراحی موتورهای جستجوی بهینه (گوگل از الگوریتم های هوشمندی برای پیدا کردن نتایج در دنیای وب استفاده می کند.)، ریاضیات برای طراحی پل ها و سایر سازه ها (با تحلیل معدلات دیفرانسیل مربوط به خمش تیرها تحت بارگذاری و …)، ریاضیات برای برنامه ریزی حمل و نقل شهری (با استفاده از برنامه ریزی خطی)، کاربردهای پزشکی ریاضایت مانند ریاضیات برای تحلیل روند گسترش ویروس ها در بافت های زنده، ریاضیات برای طراحی میکروخودروهای حامل دارو برای حمل به بافت های مورد نظر (دراگ دلیوری)، تعیین زمان جذب دارو و هزاران مورد دیگر.

افراد زیادی در قرن هجدهم و پس از آن با رویکرد دوم یعنی با هدف حل مسائل واقعی در حل مسائل مهندسی در مکانیک سیالات، مهندسی عمران، زیست شناسی و  … موفق (یا بهتر بگوییم!* ناچار) به خلق نظریات جدید و شاخه های جدیدی در ریاضیات شدند و نام و یادشان همواره در تاریخ بشری درخشان خواهد بود. اینها در ابتدا شاید علاقه ای به ریاضیات نداشتند یا ریاضیات را بیهوده می پنداشتند ولی بعدا ریاضیدانان شاخصی شدند.