مفاهیم ریاضیات در سایر رشته ها – تدریس دوره های تخصصی ریاضیات کاربردی در مهندسی و علوم

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در زندگی روزمره، مهندسی، پزشکی و …

چند کاربرد به عنوان نمونه در مهندسی:

انتقال حرارت در یک تیر:
– معادله: $\ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \$
– تفسیر: توصیف می‌کند چگونه دما $T$ در یک تیر با توجه به انتقال حرارت تغییر می‌کند.
– کاربرد: در طراحی مواد و سازه‌ها برای کنترل توزیع دما، به عنوان مثال در طراحی دستگاه‌های الکترونیک.
مکانیک سازه:
– معادله: $E I \frac{d^2y}{dx^2} = q(x)\$
– تفسیر: نمایش انعطاف یک تیر تحت یک بار توزیع‌شده $q$
– کاربرد: در مهندسی عمران و مکانیک برای طراحی سازه‌هایی مانند پل‌ها و ساختمان‌ها.
سیستم‌های کنترل:
– معادله: $m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = F(t)\$
– تفسیر: توصیف می‌کند چگونه حرکت یک نوسانگر هارمونیک میرا تحت تأثیر یک نیروی خارجی اتفاق می‌افتد.
– کاربرد: در سیستم‌های کنترل برای مدل‌سازی و تجزیه و تحلیل سیستم‌های پویا، مانند رباتیک و مهندسی هوافضا.

چند کاربرد به عنوان نمونه در علوم اجتماعی:

۱. پویایی جمعیت:
– معادله: $\frac{dP}{dt} = rP(1-\frac{P}{K})\$
– تفسیر: نمایش رشد جمعیت $P$ با ظرفیت $K$ و نرخ رشد $r$
– کاربرد: در اکولوژی و جامعه‌شناسی برای درک روندهای جمعیت، مدیریت منابع و پویایی اجتماعی.

۲. ویروس‌شناسی:**
– معادله: $\frac{dI}{dt} = \beta I (N - I) / N\$
– تفسیر: توصیف می‌کند چگونه یک بیماری عفونی $I$ در یک جمعیت $N$ با نرخ انتقال $\beta$ گسترش می‌یابد.
– کاربرد: برای مدل‌سازی و پیش‌بینی شیوع بیماری، کمک به مسئولان بهداشت عمومی در برنامه‌ریزی مداخلات.

چند کاربرد به عنوان نمونه در اقتصاد:

۱. رشد اقتصادی:
– معادله: $\frac{dY}{dt} = cY\$
– تفسیر:** نمایش نرخ تغییر خروجی اقتصادی $Y$ در طول زمان با نرخ رشد ثابت $c$
– کاربرد:** در اقتصاد برای مدل‌سازی و درک رشد و توسعه اقتصادی در طولانی مدت.

۲. حرکت قیمت سهام:**
– معادله: $\frac{dS}{dt} = \mu S + \sigma S \frac{dW}{dt} \$
– تفسیر: نمایش حرکت قیمت یک سهم $S$ با یک روند قطعی $\mu$ و یک عبارت تصادفی $\sigma dW/dt\$
– کاربرد: در ریاضیات مالی برای مدل‌سازی و پیش‌بینی حرکات قیمت سهام.

چند کاربرد به عنوان نمونه در پزشکی

۱. غلظت دارو در بدن:
– معادله: $\frac{dC}{dt} = -kC \$
– تفسیر:** نمایش نرخ تغییر غلظت دارو $C$ در بدن با نرخ از بین برنده اولیه $k$ .
– کاربرد:** در فارماکوکینتیک برای بهینه‌سازی دوز دارو و درک متابولیسم دارو.

۲. **پویایی عصبی:
– معادله: $\tau \frac{dv}{dt} = -v + RI(t) \$
– تفسیر: نمایش پتانسیل غشاء $v$ در یک نورون تحت تأثیر یک جریان ورودی $I(t)$
– کاربرد: ضروری در علوم اعصاب برای مدل‌سازی و درک رفتار نورون‌ها، به تحقیق درباره اختلالات عصبی کمک می‌کند.

سایر زمینه‌ها:

۱. **دینامیک سیالات:**
– **معادله: $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \$
– **تفسیر: نمایش بقای جرم در جریان سیالات، که چگالی $\rho$ و $\mathbf{v}$ سرعت است.
– **کاربرد: در مهندسی هوافضا، مدل‌سازی هواشناسی و علوم محیطی برای شبیه‌سازی جریان سیالات.

۲. **سینتیک واکنش‌های شیمیایی:**
– **معادله: $\frac{d[A]}{dt} = -k[A]^n[B]^m \$
– **تفسیر: نمایش نرخ یک واکنش شیمیایی با دسته‌های واکنش $n$ و $m$ با مواد اولیه $A$ و $B$
– **کاربرد: اساسی در شیمی و مهندسی شیمی برای طراحی و بهینه‌سازی فرآیندهای شیمیایی.

انگیزه‌ها برای تحقیقات آینده:

۱. مدل‌سازی چند‌مقیاسی:
– پژوهش‌ها به سمت توسعه مدل‌های معادلات دیفرانسیلی می‌روند که به طور سلسله‌مراتبی فرآیندهای مختلف را یکپارچه کنند، که به درک جامع‌تری از سیستم‌های پیچیده کمک می‌کند.

۲. معادلات دیفرانسیلی تصادفی (SDEها):
– تحقیقات آینده ممکن است بر روی ادغام عناصر تصادفی در مدل‌های معادلات دیفرانسیلی تمرکز کند که نشان‌دهنده تصادف در بسیاری از پدیده‌های طبیعی و اجتماعی است.

۳. ادغام یادگیری ماشین:
– ترکیب مدل‌های معادلات دیفرانسیلی با تکنیک‌های یادگیری ماشین برای بهبود تخمین پارامتر، پیش‌بینی و کنترل در زمینه‌های مختلف.

۴. پویایی غیرخطی و هرج و مرج:
– بررسی پویایی سیستم‌های غیرخطی، نظریه هرج و مرج و تحلیل تجزیه و تحلیل تغییر مسیر برای بهتر درک سیستم‌هایی که رفتار پیچیده‌ای از خود نشان می‌دهند.

۵. استراتژی‌های کنترل تطبیقی:
– توسعه استراتژی‌های کنترل تطبیقی که پارامترهای سیستم را بر اساس بازخورد در زمان واقعی تنظیم کنند، افزایش ایمنی و بهره‌وری سیستم‌های کنترلی را بهبود می‌بخشد.

تحقیقات ادامه‌یابی در این جهات احتمالاً منجر به مدل‌های دقیق‌تر، پیش‌بینی‌های بهتر و استراتژی‌های کنترل بهبودیافته در زمینه‌های مختلف خواهد شد.

توجه: متن فوق از ChatGPT گرفته شده است. در هر مورد در صورت علاقه مندی می توانید به منابع تحقیقاتی مراجعه کنید. کافی است کلید واژه های مناسبی را به زبان انگلیسی در Scholar.google.com یا Google books جستجو کنید.

تدریس خصوصی ریاضیات دانشگاهی، تدریس خصوصی ریاضی در مقاطع کارشناسی، ارشد و دکتری ۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵

برای هماهنگی کلاس ها پیام بدهید و بنویسید درخواست تدریس چه درسی دارید. با شما تماس گرفته خواهد شد.

تدریس مباحث تخصصی و پژوهشی ریاضیات در رشته های مهندسی و پزشکی

ریاضیات در تحقیقات پزشکی، پژوهش‌های بیوپزشکی

استفاده از ریاضیات در پژوهش‌های بیوپزشکی در سال‌های اخیر به طرز قابل توجهی پیشرفت کرده است و برای کشف‌ها و آشکارسازی‌های مهمی مؤثر بوده است. در زیر به برخی از حوزه‌های کلیدی که ریاضیات در آن‌ها نقش مهمی ایفا می‌کند، اشاره می‌کنیم:

۱. مدل‌سازی و شبیه‌سازی:

مدل‌های ریاضی به محققان در شبیه‌سازی فرایندها و سیستم‌های زیستی کمک می‌کند و امکان درک عمیق‌تری از پدیده‌های زیستی را فراهم می‌کند. به عنوان مثال، در مورد شیوع بیماری‌های عفونی مانند کووید-۱۹ از مدل‌سازی ریاضی بهره گرفته می‌شود تا اثرات مداخلاتی مانند واکسیناسیون و فاصله‌گذاری اجتماعی را پیش‌بینی کند.

۲. تجزیه و تحلیل تصویر:

ریاضیات در پردازش و تحلیل تصاویر پزشکی، مانند اسکن CT، MRI و تصاویر میکروسکوپی، بسیار حائز اهمیت است. تکنیک‌هایی مانند تجزیه تصویر، ثبت تصویر و بازسازی تصویر به طور گسترده از الگوریتم‌ها و روش‌های ریاضی استفاده می‌کنند تا تشخیص دقیق، بهبود تصاویر پزشکی و تشخیص زودرس بیماری را ممکن سازند.

۳. تجزیه و تحلیل آماری:

ریاضیات پایه‌ای برای تجزیه و تحلیل آماری در پژوهش‌های بیوپزشکی است. پژوهشگران از روش‌های آماری برای تحلیل داده‌ها، شناسایی الگوها و استنباط‌ها استفاده می‌کنند. این شامل آزمون فرضیه، تجزیه تحلیل رگرسیون، تجزیه تحلیل بقا و تجزیه تحلیل داده‌های بعد بالا است که امکان تصمیم‌گیری قوی و مبتنی بر شواهد را فراهم می‌کند.

۴. تجزیه و تحلیل ژنوم:

حوزه ژنومیک به الگوریتم‌ها و روش‌های ریاضی وابستگی زیادی دارد تا داده‌های ژنتیکی بزرگ را تحلیل و تفسیر کند. مدل‌های ریاضی برای پیش‌بینی تعاملات ژنی، شناسایی جهش‌های عامل بیماری و فهم وابستگی‌های ژنتیکی مرتبط با احتمال بروز بیماری و پاسخ به داروها استفاده می‌شوند.

۵. بهینه‌سازی و طراحی دارو:

ریاضیات و تکنیک‌های بهینه‌سازی در طراحی دارو و پزشکی فردی بسیار حائز اهمیت است. پژوهشگران از مدل‌های ریاضی برای بهینه‌سازی دوز دارو، برنامه‌های درمانی و پیش‌بینی کارایی دارو استفاده می‌کنند. علاوه بر این، مدل‌سازی ریاضی در درک تعاملات دارو-دارو و کاهش اثرات جانبی نیز مفید است. ۶. زیست‌شناسی سیستم: ریاضیات برای زیست‌شناسی سیستم بسیار حائز اهمیت است و به دانشمندان در درک رفتار سیستم‌های زیستی پیچیده به صورت کلی کمک می‌کند. مدل‌های ریاضی امکان یکپارچه‌سازی داده‌های ژنومی، پروتئومی و متابولومیکی را برای تجزیه و تحلیل تعاملات پیچیده در شبکه‌ها و مسیرهای زیستی فراهم می‌کنند. این امر امکان درک سیستمی از بیماری‌ها و توسعه درمان‌های هدفمند را به ارمغان می‌آورد.

به طور کلی، استفاده از ریاضیات در پژوهش‌های بیوپزشکی به صورت چشم‌گیری توسعه پیدا کرده است و به پژوهشگران کمک می‌کند تا کشف‌های نوآورانه‌ای انجام دهند، درمان‌های نوآورانه ارائه دهند و نتایج بهتری به دست آورند.

همکاری در تحقیقات پزشکی مربوط به ریاضیات و داده کاوی، تجزیه و تحلیل کامل مقالات روز و مجلات معتبر، انجام و مشارکت در چاپ مقالات ریاضی کاربردی در پزشکی، پروپوزال های بین رشته های ریاضیات کاربردی، آنالیز عددی و پزشکی در شاخه های مختلف پزشکی، چاپ مقالات در مجلات Q1

دکتر جانی، دکترای آنالیز عددی ۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵ در صورت عدم پاسخگویی، پیام بگذارید. (واتس اپ، تلگرام، ایتا، بله، اسکایپ، ایمیل mostafa.jani@gmail.com)

مفهوم دترمینان در ریاضی از نگاه هندسی، یک دیدگاه خاص

می دانیم وقتی یک ماتریس روی یک بردار اثر می کند حاصل بردار جدیدی است.

وقتی ماتریس روی مجموعه ای از بردارها اثر می کند حاصل مجموعه ای از بردارهاست.

مجموعه نقاط یک تصویر را در نظر بگیرید. وقتی یک ماتریس روی این تصویر اثر می کند بردارهای حاصل یک تصویر جدید تشکیل می دهند.

اگر ماتریس همانی باشد اثر ماتریس روی هر شکل (یا روی هر جسم در هر فضایی که باشد) “همان” شکل است و تغییری ایجاد نمی شود. طبیعتا تحت تاثیر ماتریس طول جسم (یک بعدی)، مساحت جسم (دوبعدی)، حجم جسم (سه بعدی) و … تغییری نمی کند و در این حالت دترمینان برابر یک است.

اگر بتوان تصویر حاصل را با یک ماتریس به تصویر اولیه تبدیل کرد می گوییم فرایند انجام شده توسط ماتریس، برگشت پذیر است (اصطلاحا می گوییم ماتریس معکوس پذیر است) و به ماتریسی که تصاویر حاصل از اثر ماتریس A را به شکل اولیه تبدیل می کند ماتریس معکوس ماتریس A می گوییم.

اساسا ماتریس یک تابع است و مفهوم معکوس ماتریس همان مفهوم معکوس در توابع است (معکوس $f$ را با $f^{-1}}$ نشان می دهیم و معکوس ماتریس $A$ (می توانید بگویید تابع $A$ )را نیز به طور مشابه با $A^{-1}}$ نشان می دهیم و می خوانیم آ اینورس).

دترمینان میزان تغییرات (تغییر طول، مساحت، حجم و …) را در شکل حاصل از اثر ماتریس نشان می دهد (اینکه مساحت شکل اولیه پس از اثر ماتریس چند برابر شده یا حجم یا …)

حدس می زنید دترمینان ماتریس معکوس یعنی $A^{-1}}$ و دترمینان $A$ چه رابطه ای دارند؟

حدس می زنید ضرب دو ماتریس از دیدگاه فوق، چگونه است و آیا با ترکیب دو تابع $fog(x)=f(g(x))$ مرتبط است؟

حدس می زنید عکس یک خرگوش لاغر اندام را با چه نوع ماتریسی می توان به یک خرگوش تپلی تبدیل کرد؟

یک ماتریس قطری بنویسید و تصویر کلیه نقاط روی یک دایره به شعاع ۲ را تحث اثر این ماتریس در یک نمودار متفاوت مشخص کنید. مساحت جسم قبل و بعد از اثر ماتریس چند است و چه ارتباطی با دترمینان ماتریس دارد.

ماتریسی که در نظر گرفته اید را در یک عدد ضرب کنید و عملیات فوق را تکرار کنید چه نتیجه ای می گیرید و آیا قابل انتظار است؟

این متن نیاز به تکمیل دارد…

چطور معادلات دیفرانسیل یاد بگیریم؟

نحوه مطالعه درس معادلات دیفرانسیل به چه صورت باشد تا بهترین نتیجه را در امتحان کسب کنیم؟

اول اینکه معادلات دیفرانسیل بیانگر چیست؟

معادلات دیفرانسیل ارتباط بین یک پدیده (دمای یک میله، ارتعاشات یک سیم، جمعیت یک گونه جانوری، فرایند جذب دارو، تغییرات بازار بورس، …) و سرعت های تغییر آن پدیده نسبت به پارامترهای وابسته است. به طور مثال با حل معادله دیفرانسیل مربوط به دمای یک جسم، می توان دمای جسم را در نقاط مختلف آن جسم و در زمان های مختلف پیش بینی کرد یا با حل معادله دیفرانسیل مربوط به تغییرات حرارتی بدن مقتول می توان زمان قتل را تشخیص داد یا با حل معادله دیفرانسیل مربوط به ارتعاشات یک سیم می توان وضعیت ارتعاش در نقاط مختلف سیم و در زمان های مختلف را فهمید و به عنوان مثال به صورت مهندسی معکوس از معادلات ارتعاش هنگام طراحی قطعات متحرک خودرو کمک گرفت (اینها مسائل معکوس در معادلات دیفرانسیل نامیده می شوند و عموما در درس معادلات مورد بررسی قرار نمی گیرند!)

دوم اینکه یک معادله دیفرانسیل را چطور حل کنیم؟ چه روشی را به کار ببریم؟

برای پاسخ به این سوال باید دسته بندی معادلات دیفرانسیل را به خوبی بدانیم. معادلات دیفرانسیل بر حسب مرتبه معادله (بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادله) دسته بندی می شوند. برخی روش های حل معادلات مرتبه اول با حل معادلات مرتبه دوم متفاوت هستند. دسته بندی دیگر، خطی و غیرخطی بودن معادله است. برای معادلات خطی مرتبه اول یک فرمول وجود دارد که آن فرمول را بدانید کلیه معادلات مرتبه اول خطی را می توانید حل کنید. معادلات خطی چه مرتبه اول چه مرتبه دوم و سوم و … را می توان با تبدیل لاپلاس هم حل کرد. اساسا تبدیل لاپلاس برای حل معادلات خطی به کار می رود و به طور کلی معادلات غیرخطی را نمی توان با تبدیل لاپلاس حل کرد. اگر معادله مرتبه اول باشد و خطی نباشد باید ببینیم معادله جداپذیر است یا خیر. معادلات جداپذیر را می توان با تفکیک کردن متغیرها و سپس انتگرال گیری به راحتی حل کرد. اگر معادله مرتبه اول غیرخطی باشد و جداپذیر نباشد تحت شرایط خاصی می توان به معادله ای جداپذیر تبدیل کرد. بررسی کامل بودن معادله و استفاده از عامل های انتگرال در مرحله بعد است. حتی اگر در صورت سوال قید شده از فلان روش برای حل استفاده کنید و شما آن روش را بلد نیستید ببینید با روش دیگری اگر می توانید معادله را حل کنید حتما این کار را بکنید. تیری در تاریکی.

دسته بندی معادلات را برای خودتان بنویسید و در کنار هر دسته روش های حل را بنویسید.

بعد از مطالعه کلی درس معادلات حل چند نمونه سوال بسیار مهم است. این کار در دسته بندی هم به شما کمک خواهد کرد.

جمع بندی مطالب درس مثل هر درس دیگری اهمیت بسیار بالایی دارد.

تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل

۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵

تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل

تدریس مفهومی معادلات دیفرانسیل

برخی کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مهندسی و علوم

معادلات دیفرانسیل در حوزه‌های گوناگون مهندسی و علوم استفاده می‌شوند. در زیر چند نمونه از کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مهندسی و علوم آورده شده است:

۱. فیزیک: معادلات دیفرانسیل به طور گسترده در فیزیک برای شرح رویدادهای فیزیکی مختلف استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، قانون دوم نیوتن در مکانیک، که رابطه‌ای میان نیرو، جرم و شتاب برقرار می‌کند، به عنوان یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم بیان می‌شود. معادلات دیفرانسیل همچنین در حوزه‌هایی مانند مکانیک کوانتومی، الکترومغناطیس، دینامیک سیالات و غیره مورد استفاده قرار می‌گیرند.

۲. مهندسی برق: معادلات دیفرانسیل در تحلیل مدارهای برقی، پردازش سیگنال و سیستم‌های کنترل استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، به کمک معادلات دیفرانسیل می‌توان رفتار یک مدار برقی با مقاومت، خازن و القاگر را مدل کرد. سیستم‌های دینامیکی مانند موتورهای الکتریکی و سیستم‌های قدرت نیز در مدل‌سازی و تجزیه و تحلیل خود از معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنند.

۳. مهندسی مکانیک: معادلات دیفرانسیل در مهندسی مکانیک برای مدل‌سازی سیستم‌های مکانیکی بسیار حائز اهمیت هستند. زمینه‌های کاربرد عبارتند از دینامیک سیستم‌های مکانیکی، ارتعاشات مکانیکی، هدایت حرارتی، جریان سیال و غیره. معادلات دیفرانسیل برای شرح حرکت و نیروهایی که بر اشیاء مانند وسایل نقلیه، ماشین‌آلات و سازه‌ها اثر می‌گذارند، استفاده می‌شوند.

۴. مهندسی شیمی: معادلات دیفرانسیل به طور گسترده در مهندسی شیمی برای مدل‌سازی و تحلیل واکنش‌های شیمیایی، انتقال جرم و انتقال حرارت استفاده می‌شوند. این معادلات برای شرح سینتیک شیمیایی، پدیده‌های انتقال و رفتار راکتورها، ستون‌های تقطیر و گرمایشگرها استفاده می‌شوند.

۵. مهندسی هوافضا: معادلات دیفرانسیل در مهندسی هوافضا برای مدل‌سازی و تجزیه و تحلیل حرکت هواپیماها، موشک‌ها، ماهواره‌ها و فضاپیماها استفاده می‌شوند. این معادلات برای شرح جرم‌شناسی هواپیما، دینامیک پرواز، سیستم‌های پیشرانشی و مکانیک مدار نیز استفاده می‌شوند.

۶. مهندسی عمران: معادلات دیفرانسیل در مهندسی عمران برای مدل‌سازی و تحلیل ارتعاشات سازه‌ها، هدایت حرارت در ساختمان‌ها، جریان سیال در لوله‌ها، جریان آب زیرزمینی و رفتار مواد تحت تنش استفاده می‌شوند. آنها همچنین در مکانیک خاک و مهندسی ژئوتکنیک برای تجزیه و تحلیل سیستم‌های پیشرفت و پایداری شیب‌ها استفاده می‌شوند.

۷. علوم کامپیوتر و تحلیل داده: معادلات دیفرانسیل در علوم کامپیوتر برای حل مسائل محاسباتی، پردازش تصاویر و سیگنال، یادگیری ماشین و شبیه‌سازی‌ها استفاده می‌شوند. آنها همچنین در تحلیل داده و مدل‌های پیش‌بینی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

برای هر یک از موارد فوق می توانید نمونه های متعددی از معادلات دیفرانسیل بیان کنید.

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مهندسی عمران

در این نوشته کاربردهای متنوعی از معادلات دیفرانسیل در رشته های عمران، مکانیک، زیست شناسی و … ذکر کرده بودیم.

در اینجا قصد داریم به طور مختصر کاربرد معادلات دیفرانسیل را در مهندسی عمران به ویژه در خمش تیرها بیان کنیم.

خمش تیرها و صفحات

یک تیر را به عنوان بخشی از محور $x$ در نظر بگیرید و مبدا مختصات را ابتدای تیر قرار دهید. در صورتی که این تیر تحت بارگذاری باشد در نقاط مختلف تیر بسته به میزان و نوع بارگذاری مقدار خمش (مقدار انحراف از حالت اصلی) متفاوت است. مقدار خمش را به عنوان تابعی از فاصله تا ابتدای تیر می توان در نظر گرفت. اگر مقدار خمش در فاصله $x$ را با $y(x)$ نشان دهیم این تابع در یک معادله دیفرانسیل صدق می کند که با حل آن معادله می توانیم مقدار خمش را در هر نقطه از تیر بدست آوریم. در بارگذاری های ساده و تیرهای همگن (تیرهایی که جنس میله در کلیه نقاط یکسان است و چگالی تیر در نقاط مختلف متفاوت نیست)، معادله دیفرانسیل مربوطه بسیار ساده است و جواب های معادله را صرفا با یک انتگرال گیری ساده می توان بدست آورد.

در حالتی که به جای تیر، یک صفحه یا یک جسم سه بعدی مثل سازه های مختلف داشته باشیم معادله دیفرانسیل مربوطه در حالت کلی یک معادله دیفرانسیل جزئی است لینک زیر را ببینید. به عنوان مقدمه ای برای این موضوع اینک زیر را ببینید.

https://en.wikipedia.org/wiki/Bending_of_plates

کلید واژه های برای جستجوی بیشتر در گوگل:

خمش، صفحه، معادله دیفرانسیل، deflection plate differential equations

این نوشته تکمیل خواهد شد.

استفاده از مطالب این سایت با ذکر منبع “ریاضیات مدرن” بلامانع است.

کاربرد معادلات دیفرانسیل در زندگی روزمره

خداوند دنیا را آفرید و بشر برای فهم آن، معادلات دیفرانسیل را.

معادلات دیفرانسیل به چه درد می خورد؟ این سوالی است که در خواندن هر موضوع ریاضی و غیر ریاضی باید پرسید. این موضوع به چه درد می خورد؟ اگر به درد نمی خورد که چرا وقت ارزشمند را صرف یادگیری آن کنیم؟

پاسخ دقیق به سوالات این چنینی عموما نیاز به اطلاعات بین رشته ای دارد و گاهی اوقات نیاز به ارتباط با صنعت و تکنولوژی های روز دنیا و تحقیقاتی که در پژوهشگاه های غول های اقتصادی دنیا انجام می شود. در متن زیر تنها به تعداد انگشت شماری از کاربردهای دیفرانسیل در سطحی قابل فهم می پردازیم.

معادلات دیفرانسیل هر چند در زندگی روزمره در ظاهر هیچ نقشی ندارند ولی در فهم تغییرات پدیده های مختلف به ویژه اتفاقات طبیعی که هر روز دور و برمان رخ می دهد به کمک ما می آیند. اگر کنجکاو نباشید و تغییراتی که هر روز دور و برتان می افتد برایتان مهم نباشد باید بگویم معادلات دیفرانسیل به هیچ دردی نمی خورد.
مدل سازی بسیاری از پدیده ها در فیزیک، مهندسی، زیست شناسی، باستان شناسی و … منجر به معادلاتی می شود که مشتق متغیر وابسته (یعنی سرعت تغییرات متغیر وابسته) در معادله وجود دارد و به این معادلات، معادلات دیفرانسیل گفته می شود. برای آگاهی از جواب و پیش بینی حوادث باید آنها را حل کرد. به طور مثال به کمک جواب های معادلات دیفرانسیل، زمان لازم برای انجام یک واکنش شیمیایی را می توان تخمین زد. مثلا می توان فهمید چقدر غلظت یک محلول بعد از زمانی مشخص چقدر است. می توان قدمت یک اثر تاریخی را از طریق حل یک معادله دیفرانسیل بسیار ساده تشخیص داد. می توان در پزشکی قانونی زمان به قتل رسیدن شخص را با توجه به دمای فعلی جسد و دمای محیط پیرامون تشخیص داد. در واقع آهنگ تغییرات دما متناسب با اختلاف دمای بدن بیمار با دمای محیط است و این یعنی مشتق تابع دمای بدن بیمار در زمان t نسبت به زمان مساوی با ضرب یک عدد ثابت در اختلاف دمای بدن و محیط به بیان ریاضی $\frac{d\theta}{dt}=\alpha (\theta-\theta_a)$ که یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی است.

می توان با حل معادلات انتقال حرارت، از تغییرات دمایی یک جسم در زمان های بعدی تنها با داشتن اطلاعاتی از قبیل ضریب رسانش گرمایی و دمای اولیه و … آگاه شد. می توان با حل معادلات دیفرانسیل مربوط به تغییرات جوی به پیش بینی وضع هوا پرداخت. البته همه اینها در قالب نرم افزارهای آماده ای وجود دارد و با وارد کردن اطلاعات لازم می توان جواب را در کامپیوتر دید. با این حال هنوز نرم افزارهای حل معادلات دیفرانسیل مشکلات زیادی دارند و توانایی حل مسائل محدود و با شرایط محدود کننده ای را دارند که حتی در فرایند مدل سازی هم برای بدست آوردن یک معادله قابل حل از تقریب های زیادی استفاده شده و از برخی خواص فیزیکی سیستم صرف نظر شده است. دانش بشر در حل مسائل واقعی با استفاده از تئوری های موجود معادلات دیفرانسیل هنوز نیاز به توسعه زیادی دارد.
با حل معادلات دیفرانسیل مربوط به تغییرات جمعیتی یک گونه جانوری می توان پیش بینی کرد جمعیت آن گونه به چه صورتی تغییر می کند. معادلات دیفرانسیل شکار و شکارچی در این دسته از معادلات جای دارند.
می توان زمان لازم برای جذب یک دارو را با حل معادلات دیفرانسیل پخش (diffusion) پیش بینی کرد.
می توان رشد سلول های سرطانی را با یک معادله دیفرانسیل مدل سازی کرد و سپس تغییرات سلول ها را با حل آن معادله پیش بینی کرد.
می توان استراتژی های بهینه ای برای سرمایه گذاری در بورس از طریق حل معادلات دیفرانسیل مربوطه یافت.
در طراحی نرم افزارهای مهندسی عمران مربوط به تحلیل سازه ها آگاهی از معادلات دیفرانسیل مربوط به خمش صفحات و تیرها تحت شرایط بارگذاری مختلف اجتناب ناپذیر است.

لازم به ذکر است جزئیات هر یک از موارد فوق نیازمند آگاهی از مباحث بین رشته ای (ریاضیات و اقتصاد، ریاضیات و زیست شناسی، ریاضیات و زمین شناسی، ریاضیات و مهندسی عمران، و … است.

برای اطلاع از کاربردهای معادلات دیفرانسیل در پزشکی این لینک (به زبان انگلیسی) را ببینید. لینک فوق دارای مراجع مختلفی از کاربرد معادلات دیفرانسیل در تکنولوژی، کاربرد معادلات دیفرانسیل در پزشکی، تحقیقات سرطان، طراحی پلیمرها، طراحی دارو و … است که همگی دارای وجه مشترکی هستند: بیان مساله به زبان ریاضی با ابزار معادلات دیفرانسیل. برای کاربردهای پزشکی معادلات دیفرانسیل جزئی می توانید این لینک را هم ببینید.

تحقیقات بسیاری برای مدل سازی سرطان با استفاده از معادلات دیفرانسیل انجام شده است. این ویدئو را با زیرنویس فارسی ببینید.

برای اطلاع از نمونه های واقعی معادلات دیفرانسیل در شیمی مقاله ۱۲ صفحه ای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول در شیمی را مطالعه کنید. در این مقاله برخی از فرایندهای شیمیایی توسط معادلات دیفرانسیل مدل سازی شده اند.

تلاش می کنیم به زودی اطلاعاتی از کاربردهای معادلات در مهندسی عمران، مهندسی هسته ای، مهندسی برق، مهندسی مکانیک سیالات، مهندسی هوافضا و … در سایت قرار دهیم.

استفاده از مطالب سایت ریاضیات مدرن با ذکر منبع “ریاضیات مدرن” بلامانع است.

آخرین مطالب