ریاضیات به زبان ساده – تدریس دوره های تخصصی ریاضیات کاربردی در مهندسی و علوم

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در زندگی روزمره، مهندسی، پزشکی و …

چند کاربرد به عنوان نمونه در مهندسی:

انتقال حرارت در یک تیر:
– معادله: $\ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \$
– تفسیر: توصیف می‌کند چگونه دما $T$ در یک تیر با توجه به انتقال حرارت تغییر می‌کند.
– کاربرد: در طراحی مواد و سازه‌ها برای کنترل توزیع دما، به عنوان مثال در طراحی دستگاه‌های الکترونیک.
مکانیک سازه:
– معادله: $E I \frac{d^2y}{dx^2} = q(x)\$
– تفسیر: نمایش انعطاف یک تیر تحت یک بار توزیع‌شده $q$
– کاربرد: در مهندسی عمران و مکانیک برای طراحی سازه‌هایی مانند پل‌ها و ساختمان‌ها.
سیستم‌های کنترل:
– معادله: $m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = F(t)\$
– تفسیر: توصیف می‌کند چگونه حرکت یک نوسانگر هارمونیک میرا تحت تأثیر یک نیروی خارجی اتفاق می‌افتد.
– کاربرد: در سیستم‌های کنترل برای مدل‌سازی و تجزیه و تحلیل سیستم‌های پویا، مانند رباتیک و مهندسی هوافضا.

چند کاربرد به عنوان نمونه در علوم اجتماعی:

۱. پویایی جمعیت:
– معادله: $\frac{dP}{dt} = rP(1-\frac{P}{K})\$
– تفسیر: نمایش رشد جمعیت $P$ با ظرفیت $K$ و نرخ رشد $r$
– کاربرد: در اکولوژی و جامعه‌شناسی برای درک روندهای جمعیت، مدیریت منابع و پویایی اجتماعی.

۲. ویروس‌شناسی:**
– معادله: $\frac{dI}{dt} = \beta I (N - I) / N\$
– تفسیر: توصیف می‌کند چگونه یک بیماری عفونی $I$ در یک جمعیت $N$ با نرخ انتقال $\beta$ گسترش می‌یابد.
– کاربرد: برای مدل‌سازی و پیش‌بینی شیوع بیماری، کمک به مسئولان بهداشت عمومی در برنامه‌ریزی مداخلات.

چند کاربرد به عنوان نمونه در اقتصاد:

۱. رشد اقتصادی:
– معادله: $\frac{dY}{dt} = cY\$
– تفسیر:** نمایش نرخ تغییر خروجی اقتصادی $Y$ در طول زمان با نرخ رشد ثابت $c$
– کاربرد:** در اقتصاد برای مدل‌سازی و درک رشد و توسعه اقتصادی در طولانی مدت.

۲. حرکت قیمت سهام:**
– معادله: $\frac{dS}{dt} = \mu S + \sigma S \frac{dW}{dt} \$
– تفسیر: نمایش حرکت قیمت یک سهم $S$ با یک روند قطعی $\mu$ و یک عبارت تصادفی $\sigma dW/dt\$
– کاربرد: در ریاضیات مالی برای مدل‌سازی و پیش‌بینی حرکات قیمت سهام.

چند کاربرد به عنوان نمونه در پزشکی

۱. غلظت دارو در بدن:
– معادله: $\frac{dC}{dt} = -kC \$
– تفسیر:** نمایش نرخ تغییر غلظت دارو $C$ در بدن با نرخ از بین برنده اولیه $k$ .
– کاربرد:** در فارماکوکینتیک برای بهینه‌سازی دوز دارو و درک متابولیسم دارو.

۲. **پویایی عصبی:
– معادله: $\tau \frac{dv}{dt} = -v + RI(t) \$
– تفسیر: نمایش پتانسیل غشاء $v$ در یک نورون تحت تأثیر یک جریان ورودی $I(t)$
– کاربرد: ضروری در علوم اعصاب برای مدل‌سازی و درک رفتار نورون‌ها، به تحقیق درباره اختلالات عصبی کمک می‌کند.

سایر زمینه‌ها:

۱. **دینامیک سیالات:**
– **معادله: $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \$
– **تفسیر: نمایش بقای جرم در جریان سیالات، که چگالی $\rho$ و $\mathbf{v}$ سرعت است.
– **کاربرد: در مهندسی هوافضا، مدل‌سازی هواشناسی و علوم محیطی برای شبیه‌سازی جریان سیالات.

۲. **سینتیک واکنش‌های شیمیایی:**
– **معادله: $\frac{d[A]}{dt} = -k[A]^n[B]^m \$
– **تفسیر: نمایش نرخ یک واکنش شیمیایی با دسته‌های واکنش $n$ و $m$ با مواد اولیه $A$ و $B$
– **کاربرد: اساسی در شیمی و مهندسی شیمی برای طراحی و بهینه‌سازی فرآیندهای شیمیایی.

انگیزه‌ها برای تحقیقات آینده:

۱. مدل‌سازی چند‌مقیاسی:
– پژوهش‌ها به سمت توسعه مدل‌های معادلات دیفرانسیلی می‌روند که به طور سلسله‌مراتبی فرآیندهای مختلف را یکپارچه کنند، که به درک جامع‌تری از سیستم‌های پیچیده کمک می‌کند.

۲. معادلات دیفرانسیلی تصادفی (SDEها):
– تحقیقات آینده ممکن است بر روی ادغام عناصر تصادفی در مدل‌های معادلات دیفرانسیلی تمرکز کند که نشان‌دهنده تصادف در بسیاری از پدیده‌های طبیعی و اجتماعی است.

۳. ادغام یادگیری ماشین:
– ترکیب مدل‌های معادلات دیفرانسیلی با تکنیک‌های یادگیری ماشین برای بهبود تخمین پارامتر، پیش‌بینی و کنترل در زمینه‌های مختلف.

۴. پویایی غیرخطی و هرج و مرج:
– بررسی پویایی سیستم‌های غیرخطی، نظریه هرج و مرج و تحلیل تجزیه و تحلیل تغییر مسیر برای بهتر درک سیستم‌هایی که رفتار پیچیده‌ای از خود نشان می‌دهند.

۵. استراتژی‌های کنترل تطبیقی:
– توسعه استراتژی‌های کنترل تطبیقی که پارامترهای سیستم را بر اساس بازخورد در زمان واقعی تنظیم کنند، افزایش ایمنی و بهره‌وری سیستم‌های کنترلی را بهبود می‌بخشد.

تحقیقات ادامه‌یابی در این جهات احتمالاً منجر به مدل‌های دقیق‌تر، پیش‌بینی‌های بهتر و استراتژی‌های کنترل بهبودیافته در زمینه‌های مختلف خواهد شد.

توجه: متن فوق از ChatGPT گرفته شده است. در هر مورد در صورت علاقه مندی می توانید به منابع تحقیقاتی مراجعه کنید. کافی است کلید واژه های مناسبی را به زبان انگلیسی در Scholar.google.com یا Google books جستجو کنید.

تدریس خصوصی ریاضیات دانشگاهی، تدریس خصوصی ریاضی در مقاطع کارشناسی، ارشد و دکتری ۰۹۱۹۴۲۱۷۱۷۵

برای هماهنگی کلاس ها پیام بدهید و بنویسید درخواست تدریس چه درسی دارید. با شما تماس گرفته خواهد شد.

تدریس مباحث تخصصی و پژوهشی ریاضیات در رشته های مهندسی و پزشکی

ایجاد علاقه به ریاضی

اکنون در هزاره سوم به سر می بریم. در هزاره اول شاید میگفتند چرا باید جمع و ضرب اعداد را یاد بگیریم. ضرب خیلی پیچیده است اصلا کاربردی هم نداره! در هزاره دوم شاید می گفتند چرا باید مشتق و انتگرال یاد بگیریم، انتگرال خیلی پیچیده است و اصلا کاربردی هم نداره! و در هزاره سوم شاید برخی بپرسند چرا باید گراف ها و شبکه ها، نظریه بازی ها، داده کاوی، هوش مصنوعی، احتمالات و .. یاد بگیریم. وقتی به کاربردها توجه نشود همینه.

اما ریاضی چی داره که عده زیادی ازش فرارین؟ نتایج تحقیقات نشون داده که آموزش های دبستان و راهنمایی نقش تعیین کننده ای در ایجاد علاقه به ریاضی داره و افرادی که در این مقاطع از ریاضی فاصله گرفتند تا سال های زیادی روی خوش به ریاضی نشون ندادند (برخی مواقع هم هیچوقت). البته عموم افرادی که تحصیلاتشون را در رشته های پزشکی، مهندسی، مدیریت، اقتصاد و علوم پایه ادامه دادند و به پژوهش علاقه مند بودند بالاخره به این نتیجه رسیدند که پژوهش خوب کار آماری و کار با داده های خیلی بزرگ می خواد که کامپیوترهای مدرن هم بدون استفاده از روش های بهینه و به روز ریاضی از پس اونا بر نمی آن. از این موارد یکی از دوستانم را مثال بزنم که در رشته جغرافی مشغول تحقیقی در مورد تغییرات اقلیمی خاورمیانه بود و داده هایی از تغییرات آب و هوایی چند دهه گذشته داشت و به ناچار به ریاضیات مدرن روی آورده بود یا دوستانی که در تحقیقات پزشکی و تجزیه و تحلیل داده های پزشکی و ساخت ربات های پرستار کار می کنند یا افرادی که در رشته های مختلف مهندسی مشغول کار پژوهشی و محاسباتی هستند اغلب بالاخره به این نتیجه رسیده اند که ریاضی به یه دردایی می خوره. اینا دیگه نمیگن ریاضی به هیچ دردی نمی خوره.

اصولا آموزش ریاضی بدون ارتباط گرفتن با محیط پیرامون و کنجکاوی در مورد تغییرات دور و برمون که هر روز رخ می ده کار سخت و طاقت فرساییه و انگیزه ها را کم می کنه. تغییراتی که هر روز میشه لمس کرد و میشه توجه کرد و دید که چقدر ریاضیات برای پیش بینی اتفاقات بر اساس اطلاعات قبلی، مهمه. مثلا تغییرات قیمت ها در یک دوره زمانی، تغییرات دما در فصل های مختلف سال، دما در نقاط مختلف کشور (تابع دو متغیره)، تغییر انحنای طنابی که داریم روش لباس پهن می کنیم، تغییرات فشار هوا وقتی از یه کوه بلند میریم بالا، تغییرات دمای آب کتری از وقتی میذاریم رو گاز تا وقتی جوش میاد، تغییرات قد بچه از تولد تا بیست سالگی، تغییرات قیمت برق از ده سال پیش تا الان از روی فیش های برق، تغییرات فشار خون یه بیمار بر اساس دوز داروی مصرفی، تغییرات فشار هوا وقتی حرف می زنیم، … با همین ها میشه کلی از مفاهیم ریاضی را به ساده ترین صورت آموزش داد (مفهوم تابع، متغیر مستقل، متغیر وابسته، تابع صعودی، مشتق، تابع ثابت، تابع خیلی صعودی (مثل بعضیی وقتای قیمت پراید)، رسم نمودار، درصد، تابع چندضابطه ای (پشت قبض برق)، تابع جزء صحیح و گردکردن اعداد (در تراکنش های پولی و حساب و کتاب)، تبدیل فوریه (گوش ما برای تشخیص صداها مدام از تبدیل فوریه استفاده میکنه)، …

خب چند تا راهکار، چطور سازتون را با ریاضی کوک کنید.

آموزش را به آنچه دانش آموز در آن مهارت دارد متکی کنید مثال هایی که می زنید در مورد مفاهیم ریاضی می تونه مثال هایی باشه که دانش آموز اطلاعات خوبی داره در موردش. مثال هایی که میشه راحت باهاشون ارتباط برقرار کرد.

برای اینکه دکمه روشن کردن ریاضیات را بزنید اهمیت ریاضیات را بگید براشون مثلا خیلی از دانش آموزان نمیدونن چه طور ریاضیاتی پشت شبکه های اجتماعی مثل اینستاگرام، فیسبوک و … است. محض اطلاع الگوریتم ریاضی پیشنهاد دوست در توئیتر را یک مهندس ایرانی طراحی کرده. یا مثلا یکی از روش های موثر در طراحی فونت های زیبا ترکیب ریاضیات با گرافیک کامپیوتریه.
به دانش آموزان در ایجاد و رشد یک سری هدف ها کمک کنید و اجازه دهید پله پله به اونا برسن.
چالش هایی را در حد اونا معرفی کنید تا ذهنشون درگیر بشه.
از تکنولوژی در آموزش با بازی های رایانه ای کمک بگیرید. یادمون باشه ما در هزاره سوم تمدن به سر می بریم و درسته که اول راهیم ولی این هزاره با اون دو تا قبلی خیلی فرق داره.
خودتون باید بسیار مشتاق به مباحث باشید و مباحث را مشتاقانه بیان کنید اگه خودتون در ارائه مطلب مشتاق نباشید نتیجه از همون اول معلومه!
شعبده بازی همیشه طرفدار داره. در کلاس ها حتما جادو و جنبل را به کار ببرید. مثلا با قاطعیت بگید مطمئنید در کلاس حداقل دو نفر در یک ماه به دنیا اومدن و حاضرین شرط ببندین! (قبل از شرط بندی یه شمارش بکنید کمتر از ۱۳ تا نباشن!)
حتی ریاضیات پیشرفته هم از آسمون نیومده تاریخچه ای و انگیزه ای برای قضایای ریاضی بگید. گاهی اوقات سرچ کنید مثلا

the motivation behind the … or the idea behind … or what is … for

و جای خالی را مثلا قضیه فیثاغورث، تجزیه ماتریسی، سری فوریه، مثلثات، تبدیل لاپلاس، هوش مصنوعی، نظریه گروه یا هر چیزی که مایلید بگذارید.
بازی های فکری هم عالیه.
و آخر از همه ولی مهم تر از همه همیشه باید بدونیم یه درس به چه درد می خوره. هر چی که وقت می گذاریم یاد بگیریم حتما باید به یه دردی بخوره. اگه به درد نخوره که چرا یاد بگیریم. یک نجار وقتی از ریاضی و گرافیک کامپیوتری سر در بیاره کلی ایده های جدید و کم هزینه برای ساخت ابزار میده. اصلا قبل از ساخت یه چیزی می تونه در کامپیوتر شبیه سازی کنه ببینه نتیجه چه شکلی میشه و در هر حالت هزینه های طراحی و ساخت را حساب کنه، یه نوازنده می تونه هارمونی موجود در کارش را تحلیل کنه. یه در بقیه مشاغل هم همین طور. یه پزشک باید منطق ریاضی خوبی داشته باشه تا مثلا بتونه تغییرات یه پارامتری را در بدن بیمار در یک دوره زمانی درست تشخیص بده و بر اساس اون نسخه درستی بنویسه.

مطالب فوق برداشتی آزاد از مطالب این سایت هست. پیشنهادات و انتقادات خودتون را از طریق گزینه های ارتباطی که در این سایت هست برامون بفرستید.

استفاده از مطالب ساده با ذکر منبع “ریاضیات مدرن” بلامانع است.

توجه: ریاضیات با سایر علوم یک تفاوت اساسی دارد. وقتی آموزش تعمیر لپ تاپ را مطالعه می کنیم حواسمان هست که چه چیزی را مطالعه می کنیم و می دانیم به چه دردی می خورد. در مورد ریاضیات چطور؟

وقتی یک مبحث ریاضی را می خوانیم بخشی از آموزش، فهمیدن نحوه حل یک مساله است که خود مساله عموما یک مساله با زبان ریاضیات است و با حل مساله به جوابی باز با زبان ریاضیات میرسیم. خب سوال اینجاست که مسائل ریاضی در دنیای واقعی اساسا چه هستند و حل آنها اساسا به چه دردی می خورد؟ در پاسخ به این پرسش باید توجه داشت که ریاضیات یک زبان است. می توان مسائل روزمره زندگی، مسائل مهندسی، تحقیقات پزَشکی، تحقیقات رباتیک، مهندسی عمران و … را با صرف وقت و کنجکاوی و توجه به تغییرات در اتفاقاتی که رخ می دهند و بررسی نقش عوامل تاثیرگذار در این اتفاقات، به زبان ریاضی ترجمه کرد. مسئله ریاضی حاصل را حل کرد و پاسخ را به دنیای واقعی مجددا ترجمه کرد و درستی نتایج را مورد ارزیابی منطقی قرار داد. ممکن است پاسخ ریاضی کاملا اشتباه باشد و دلیل آن در نظر نگرفتن یک پارامتر مهم در فرایند مدل سازی، یک اشتباه در حین حل، یک تفسیر غلط از مساله، ترجمه نادرست مساله به زبان ریاضی و یا ترجمه نادرست پاسخ به زبان دنیای واقعی باشد. عموما افراد علاقه مند به تغییرات (تغییرات دما نسبت به زمان، تغییرات حجم با دما، تغییرات فصول سال، …) مهمانان دنیای ریاضیات هستند گاه بی آنکه خود بدانند به میهمانی یکی از بزرگترین اختراعات (یا کشفیات؟) فکری بشری رفته اند!

در واقع صرفا فهمیدن زبان ریاضیات تازه آغاز راه است و گام مهمتر استفاده از آن در مدل سازی مسائل دنیای واقعی و حل آنها است. سیستم های آموزش ریاضی رایج در دنیا، عموما فقط زبان ریاضیات را آموزش می دهند نه اینکه به چه دردی می خورد. حتی وقتی کاربردهای ریاضیات مطرح می شود باز به ندرت مسائل واقعی مورد بررسی قرار می گیرد و اینکه چطور از این ابزار می توان در حل دنیای واقعی استفاده کرد اغلب نادیده گرفته می شود.

خوش باشید.

آخرین مطالب